Дата публикации:

Решение уравнения с использованием замены

Содержимое статьи:

Подстановка:

Выполним замену: cos x - sin x = t.
Преобразование уравнения: Подставив t в исходное уравнение, получаем:
```
(1 - sin^2 x)(t) = 1 - 2sin^2 x
```
Используя тригонометрическую тождественность sin^2 x + cos^2 x = 1, получаем:
```
(1 - (1 - cos^2 x))(t) = 1 - 2(1 - cos^2 x)
```
Упрощая, получаем:
```
cos^2 x(t) = 1 - 2 + 2cos^2 x
```
Решениме для t:
```
t = (2cos^2 x - 1) / cos^2 x
```
Обратная замена: Подставляя обратно cos x - sin x = t, получаем:
```
cos x - sin x = (2cos^2 x - 1) / cos^2 x
```
Умножая обе части на cos^2 x, получаем:
```
cos^2 x - cos x sin x = 2cos^2 x - 1
```
Дальнейшее решение: Используя тригонометрическую тождественность sin2x = 2cos x sin x, получаем:
```
cos^2 x - sin2x = 2cos^2 x - 1
```
Решая для cos x, получаем:
```
cos x = ±1/√2
```
Подставляя эти значения cos x обратно в замену, получаем два решения для x:
```
x = π/4 + 2πk или 3π/4 + 2πk,
```
где k - любое целое число.