Решение уравнения с использованием замены

Содержимое статьи:

Подстановка:

• Выполним замену: cos x - sin x = t.
  Преобразование уравнения: Подставив t в исходное уравнение, получаем:
  

  (1 - sin^2 x)(t) = 1 - 2sin^2 x

  Используя тригонометрическую тождественность sin^2 x + cos^2 x = 1, получаем:

  (1 - (1 - cos^2 x))(t) = 1 - 2(1 - cos^2 x)

  Упрощая, получаем:

  cos^2 x(t) = 1 - 2 + 2cos^2 x

  Решениме для t:

  t = (2cos^2 x - 1) / cos^2 x

  Обратная замена: Подставляя обратно cos x - sin x = t, получаем:

  cos x - sin x = (2cos^2 x - 1) / cos^2 x

  Умножая обе части на cos^2 x, получаем:

  cos^2 x - cos x sin x = 2cos^2 x - 1

  Дальнейшее решение: Используя тригонометрическую тождественность sin2x = 2cos x sin x, получаем:

  cos^2 x - sin2x = 2cos^2 x - 1

  Решая для cos x, получаем:

  cos x = ±1/√2

  Подставляя эти значения cos x обратно в замену, получаем два решения для x:

  x = π/4 + 2πk или 3π/4 + 2πk,

  где k - любое целое число.